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19.已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$,圆C的极坐标方程为ρ=8cosθ.
(1)求圆心C的直角坐标;
(2)若直线l与圆C相交于A,B两点,点P的直角坐标为(0,2),求|PA|+|PB|的值.

分析 (1)将圆C的极坐标方程转化成普通方程,进而转化成圆的标准方程,即可求得圆心C的直角坐标;
(2)将直线l的参数方程代入圆的方程,求得关于t的一元二次方程,令A,B对应参数分别为t1,t2,根据韦达定理t1+t2=-(4+2$\sqrt{3}$)<0,t1•t2=4>0,根据直线与圆的位置关系,即可求得|PA|+|PB|的值.

解答 解:(1)∵ρ=8cosθ,
∴ρ2=8ρcosθ
圆C的直角坐标方程为x2+y2=8x,
∴(x-4)2+y2=16,圆心C为(4,0)┅┅┅┅4分
(2)将直线l的参数方程直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$,代入x2+y2-8x=0,
得(-$\frac{1}{2}$t)2+(2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t)2-8(-$\frac{1}{2}$t)=0,即t2+(4+2$\sqrt{3}$)t+4=0,┅┅┅┅8分
令A,B对应参数分别为t1,t2,则t1+t2=-(4+2$\sqrt{3}$)<0,t1•t2=4>0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2$\sqrt{3}$┅┅┅┅10分.

点评 本题考查圆的极坐标方程与普通方程得转换,直线与圆的位置关系,考查分析问题及解决问题的能力,属于中档题.

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