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在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2
3
asinB=5c,cosB=
11
14

(1)求∠A的大小;
(2)设BC边的中点为点D,△ABC的面积为S=
15
3
4
,求中线AD的长.
考点:正弦定理,余弦定理
专题:解三角形
分析:(1)利用同角三角函数关系求得sinB的值,利用2
3
asinB=5c求得a和c的关系,进而利用正弦定理求得转化成角的正弦,利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系,求得tanA的值,进而求得A.
(2)利用三角形面积公式求得a,c,最后根据余弦定理即可求得答案.
解答: 解:(1)在△ABC中,∵cosB=
11
14

∴sinB=
5
3
14

∵2
3
asinB=5c,
∴2
3
•a•
5
3
14
=5c
∴3a=7c,
a
sinA
=
c
sinC

∴3sinA=7sinC,
∴3sinA=7sin(A+B),
∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,即3sinA=7•sinA•
11
14
+7cosA
5
3
14

∴-sinA=
3
cosA,
∴tanA=-
3
,即A=
3

(2)∵△ABC的面积为S=
15
3
4
,即有S△ABC=
1
2
acsinB=
15
3
4

∴可解得:ac=21
∵由(1)知3a=7c,
∴从而可解得:a=7,c=3
∴在三角形ABD中,由余弦定理可得:AD2=AB2+BD2-2AB•BDcosB=9+
49
4
-21×
11
14
=
19
4

∴AD=
19
2
点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化,属于中档题.
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2
3
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π
4
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7
48
+
log212-
1
2
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2
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a
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b
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A、2
B、-2
C、
1
2
D、-
1
2

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3-x
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