Question

【题目】已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示图形为圆．
（1）若已知曲线关于直线x+y﹣4=0的对称圆与直线6x+8y﹣59=0相切，求实数k的值；
（2）若k=15，求过该曲线与直线x﹣2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+k（k＞﹣5），

可知圆心为（2，1），设它关于y=﹣x+4的对称点为（x1，y1），

则 ，解得 ，

∴点（3，2）到直线6x+8y﹣59=0的距离为 ，

即

∴ ，∴

（2）解：当k=15时，圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=20

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0）．

∵已知圆的圆心（2，1）到直线x﹣2y+5=0的距离为 ，

则 ，∴ ， ，

∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=15

【解析】（1）根据两个圆心关于直线对称关系，求出对称圆心的坐标，再由对称圆与6x+8y﹣59=0相切，即圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径r，即可求出k；（2）先设圆心A坐标并把k代入已知方程配方后求A的坐标，由A在x﹣2y+5=0上时此圆的面积最小，两个圆心的连线与直线垂直，利用斜率之积等于﹣1和A在直线上列出方程组求圆心的坐标，再利用弦心距、半径和弦的一半关系求出半径．