Question

12．已知O为△ABC的外心，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=4，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且x+4y=2，则|$\overrightarrow{OA}$|=2．

Answer 1

分析 可作出图形，根据条件可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=2，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=8$，从而分别在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的两边同时乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{2=4x+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{①}\\{8=16y+x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{②}\end{array}\right.$，然后根据条件x+4y=2：①+②，和①×4+②便可得到$\left\{\begin{array}{l}{（x+y）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2}\\{8（x+y）+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8}\end{array}\right.$，这样便可解出x+y=$\frac{1}{2}$，从而联立x+4y=2便可解出x，y，从而便可得出$|\overrightarrow{OA}|$．

解答 解：如图，分别取AB，AC中点D，E，连接OD，OE，AO，O为△ABC的外心；
∴OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$由\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{2=4x+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{①}\\{8=16y+x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{②}\end{array}\right.$；
∵x+4y=2；
∴①+②得：$（x+y）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2$③；
①×4+②得：$8（x+y）+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$④；
∴③④联立得，$x+y=\frac{1}{2}$；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{x+4y=2}\\{x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得，$x=0，y=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$；
∴$|\overrightarrow{AO}|=2$．
故答案为：2．

点评 考查三角形外心的概念，向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系，以及构造方程组解题的方法，向量数乘的几何意义．