Question

已知函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（1）；   
（2）证明方程f（x）=0有且仅有一个实根；
（3）若x∈[1，+∞）时，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根据函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根据已知中函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＞0恒成立，我们可以判断出函数在其定义域内为增函数，结合（1）的结论及单调函数的性质，即可得到结论．
（3）由（2），（1）的结论，我们易将不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0转化为a＞-x²-x在x∈[1，+∞）时恒成立，根据二次函数的性质，我们即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；（2分）
证明：（2）任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则题意得f（

x2

x1

）＞0
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）在其定义域内为增函数，由（1）和f（1）=0，
所以1为方程f（x）=0的一个实根，若还存在一个x₀，且x₀＞0，使得f（x₀）=0，
因为函数f（x）在其定义域内为增函数，必有x₀=1，故方程f（x）=0有且仅有一个实根；（8分）
解：（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内为增函数
当x∈[1，+∞）时，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0=f（1）恒成立，即

x2+2x+a

x

＞1恒成立
即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）时恒成立
∵-x²-x在x∈[1，+∞）时最大值为-2
∴a＞-2（14分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是将f（xy）=f（x）+f（y），变型为f（xy）-f（y）=f（x），从而得到f（x₁）-f（x₂）=f（

x2

x1

），（3）的关键是利用函数的单调性对不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0进行变形．