【题目】对于数列{an},定义 为{an}的“优值”,现在已知某数列{an}的“优值” ,记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn , 若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立,则实数k的最大值为 .
【答案】
【解析】解:由题意, =2n+1 , 则a1+2a2+…+2n﹣1an=n2n+1 ,
当n≥2时,a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=(n﹣1)2n ,
两式相减可得2n﹣1an=n2n+1﹣(n﹣1)2n=(n+1)2n ,
则an=2(n+1),
当n=1时,a1=4,
上式对a1也成立,
故an=2(n+1),n∈N+ ,
则an﹣kn=(2﹣k)n+2,
则数列{an﹣kn}为等差数列,
故Sn≤S5对任意的n(n∈N*)恒成立可化为
a5≥0,a6≤0,
即 ,
解得 ≤k≤ ,
则实数k的最大值为 ,
所以答案是: .
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆: ,与轴不重合的直线经过左焦点,且与椭圆相交于, 两点,弦的中点为,直线与椭圆相交于, 两点.
(Ⅰ)若直线的斜率为1,求直线的斜率;
(Ⅱ)是否存在直线,使得成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log (a5+a7+a9)的值是( )
A.﹣
B.﹣5
C.5
D.
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【题目】函数f(x)的定义域为D,满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[ ]D,使得f(x)在[ ]上的值域为[a,b],那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“优美函数”,则t的取值范围为( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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【题目】已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.
(1)求圆方程;
(2)是否存在过点的直线与圆交于两点,且的面积是(为坐标原点),若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知直线: 恒过定点,圆经过点和点,且圆心在直线上.
(1)求定点的坐标;
(2)求圆的方程;
(3)已知点为圆直径的一个端点,若另一个端点为点,问:在轴上是否存在一点,使得为直角三角形,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若=-1,求的值.
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