Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求BD与平面ADMN所成角的大小；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A点为坐标原点，以AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，然后根据两向量数量积为0，两向量垂直，即可得到PB⊥DM；
（2）求出直线BD的方向向量，及平面ADMN的法向量，代入直线与平面夹角的向量公式，即可求出求BD与平面ADMN所成角的大小；
（3）求出平面BPC和平面DPC的法向量，代入直二面角的向量公式，即可求出二面角B-PC-D的大小．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．（2分）
（1）因为M为PC的中点，所以M（1，，1）.，．（3分）
因为，所以PB⊥DM．（5分）
（2），．
因为，所以PB⊥AD．
又由（1）知PB⊥DM，且AD∩DM=D，所以PB⊥平面ADMN，
即为平面ADMN的法向量．（6分）
因此的余角等于BD与平面ADMN所成的角．（7分）
因为，所以，（8分）
所以BD与平面ADMN所成的角．（9分）
（3），，设平面PBC的法向量为，则
由得解得
令z₁=1，得．（10分）
，，设平面PCD的法向量为，则
由得解得
令z₂=2，得．（11分）
因为，（12分）
所以，依题意可得二面角B-PC-D的大小为．（14分）
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中建立恰当的空间直角坐标系，求出对应直线的方向向量及平面的法向量，是解答本题的关键．