Question

【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵频率分布直方图前三段的频率成等比数列，

∴由频率分布直方图，得：（10b）2=0.05×0.20，解得b=0.010，

∴a=0.1﹣0.005﹣0.010﹣0.020﹣0.025﹣0.010=0.030．

（2）解：成绩不低于80分的人数估计为：640×（0.025+0.010）×10=224．
（3）解：样本中成绩在[40，50）内的人数为40×0.005×10=2，

成绩在[90，100]内的人数为40×0.010×10=4，

X的所有可能取值为0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，

∴X的分布列为：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a．（2）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．（3）样本中成绩在[40，50）内的人数为2，成绩在[90，100]内的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．