Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数，令log_ax=t，得x=a^t，代入函数解析式即可求得f（x）的解析式；（2）利用函数单调性的定义，在R上任取x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），因式分解，比较其与零的大小，即可求得结果；（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，因为当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，所以f（2）-4=（a²-a^-2）-4≤0，
解此不等式即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=（a^t-a^-t）
即f（x）=（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，＞0，f（x）在R上是增函数，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-）-

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=（a²-a^-2），
∴f（2）-4=（a²-a^-2）-4≤0，
整理得且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-≤a≤2，且a≠1，
即[2-，1）∪（1，2]．
点评：此题属于中档题．考查换元法求函数的解析式，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，求函数的最值问题，注意换元时注意引进新变量的范围，利用函数单调性的定义判断函数单调性时，注意结果的化简一般是若干因式积商形式或完全平方式和的形式，同时考查了运算能力．