Question

已知{a_n}是等差数列，其公差d≠0，且a₂是a₁与a₄的等比中项．（1）求a₁与d的关系式；（2）若{a_n}的部分项依次组成的数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列，其中k₁=1，k₂=3，试求数列{k_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），从而可得
（2）由（1）得a_n=nd，由已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比数列，由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比数列，利用等比数列的通项公式可求

解答：（本小题满分14分）
解：（1）依题设a_n=a₁+（n-1）d，a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即a₁d=d²，∵d≠0，∴a₁=d；     （4分）
（2）由（1）得a_n=nd，联系已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比数列．（7分）
由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比数列，（10分）
其首项为1，公比为q=

3

1

=3，（12分）
∴数列{k_n}的通项公式为k_n=3^n-1．（14分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的综合运算，等比数列通项目、公式的简单运用，属于基础试题