Question

（2012•菏泽一模）某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球．测试规定如下：
①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；
②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试．
已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是

1

2

、

2

3

、

3

4

，各项测试时间间隔恰当，每次测试互不影响．
（Ⅰ）求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；
（Ⅱ）求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
（Ⅲ）若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲同学从三个项目中随机抽取两项，从而可求恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；
（Ⅱ）根据抽取的两个项目测试都合格或都不合格，可求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
（Ⅲ）确定X的取值是2，3，求出相应的概率，即可求得X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲同学从三个项目中随机抽取两项，共有

C

2 3

=3种方法
∴恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率为P1=

1

3

；
（Ⅱ）甲同学经过两个项目测试就能达标的概率为P₂=

1

3

×

1

2

×

2

3

+

1

3

×

1

2

×

3

4

+

1

3

×

2

3

×

3

4

=

29

72

；
（Ⅲ）X的取值是2，3
X=2时，甲同学随机抽取的两项测试全部合格或者全部合格，
则P（X=2）=

1

3

（

1

2

×

2

3

+

1

2

×

3

4

+

2

3

×

3

4

）+

1

3

（

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

4

+

1

3

×

1

4

）=

19

36

X=3时，P（X=3）=1-P（X=2）=

17

36

，
∴X的分布列为

X	2	3
P	19 36	17 36

∴EX=2×

19

36

+3×

17

36

=

89

36

．

点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，正确求概率是关键．