Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角$C＞\frac{π}{3}$，asin2C=bsinA，则下列结论正确的有（　　）个               
①一定是锐角三角形；
②一定是等腰三角形；
③可能是等腰直角三角形；
④可能是等边三角形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据正弦定理、余弦定理和二倍角公式化简已知的式子，再对化简后式子进行分类讨论，分别判断出△ABC的形状．

解答 解：∵asin2C=bsinA，∴根据正弦定理得：sinAsin2C=sinBsinA，
由sinA≠0，则sin2C=sinB，
∴2sinCcosC=sinB，∴2c$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b，
化简可得：（a-c）（ac+c²-b²）=0，
∴a-c=0或ac+c²-b²=0，
①当a-c=0且ac+c²-b²≠0时，a=c，△ABC是等腰三角形；
②当a-c=0且ac+c²-b²=0时，a=c且a²+c²=b²，△ABC是等腰直角三角形；
③当a-c≠0且ac+c²-b²=0时，无法判断△ABC的形状，
∴△ABC是等腰三角形或等腰直角三角形；
故选：B．

点评 本题考查正弦定理，、余弦定理和二倍角公式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．