Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在
，使得. 试用这个结论证明：若函数
（其中），则对任意，都有；
（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都
有.

Answer 1

（Ⅰ） ；（2）详见解析；（3）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）利用导数法判断函数的单调性，根据函数在极值时有极值求出参数的值；（Ⅱ）构造新函数再利用导数法求解；（Ⅲ）由已知条件得出，再利用第（Ⅱ）问的结论对任意，都有求解.
试题解析：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且
所以，得，此时.
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
则.
因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在
使得                                7分
又，
当时，，从而单调递增，；
当时，，从而单调递减，；
故对任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知对任意，都有，从而
．     14分
考点：导数的基本运算；导数与函数的单调性关系；不等式的基本性质与证明.