Question

设函数f(x)＝2x³－3(a－1)x²＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.

Answer 1

(Ⅰ) 函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.   (Ⅱ)   见解析

解析:

由已知得f??(x)＝6x[x－(a－1)]，令f??(x)＝0，解得 x₁＝0,x₂＝a－1，.

（Ⅰ）当a＝1时，f??(x)＝6x²，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增

当a＞1时，f??(x)＝6x[x－(a－1)]，f??(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x	(－∞,0)	0	(0,a－1)	a－1	(a－1,＋∞)
f??(x)	＋	0		0
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)³.