Question

已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F，
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)命题：“过椭圆的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A．B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F，M两点间的距离的比值．
试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明；
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）。

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意，可设双曲线C的方程为，
由已知得C的一个焦点，
所以C的另一个焦点为，
由，
得，
又a=2，
所以，，
所以，双曲线C的方程为。
(Ⅱ)关于双曲线C的类似命题为：过双曲线的焦点F₁(2，0)作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是。
证明如下：由于l与x轴不垂直，可设直线l的方程为：y=k(x-2)，
①当k=0时，l与x轴重合，，命题正确；
②当k≠0时，由得，
依题意l与C有两个交点A，B，所以，，
设，
则，，
所以线段AB的中点P的坐标为，
AB的垂直平分线MP的方程为：，
令y=0，解得：，
即，所以，，
又

，
所以，。
(Ⅲ)过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中e为圆锥曲线E的离心率）。