Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）．受此启发，研究下面问题：
对于抛物线y²=2px（p＞0）上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线的定义即可得出点M的轨迹方程；
（2）设，由PA⊥PB，可得=0，得到关于y₁，y₂，y的一个关系式（*），利用点斜式可得到直线AB的方程，把（*）代入即可得到直线AB过一个定点．
解答：证明：（1）设M（x，y）到定直线x=-2的距离为d，
若x≤-2，则|MF|＞d，不符题意，所以点M在直线x=-2的右侧．
于是动点M到定点F （1，0）的距离与到定直线x=-1的距离相等，
所以M点的轨迹是抛物线，其方程为y²=4x．
（2）设，
则，，
因为PA⊥PB，所以，
因为（y₁-y）（y₂-y）≠0，所以，
即①．
直线AB的方程为，
即，，，
把①代入得：，化简得，
故直线AB恒过定点．
点评：本小题主要考查抛物线的定义及其性质、直线过定点问题、如何设抛物线上的点坐标、直线的点斜式等基础知识，考查数形结合、方程思想、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新探究意识．