Question

（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．

已知数列{}和{}满足：对于任何，有，为非零常数），且．

（1）求数列{}和{}的通项公式；

（2）若是与的等差中项，试求的值，并研究：对任意的，是否一定能是数列{}中某两项（不同于）的等差中项，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）【解一】由得，

．

又，，．

所以，{}是首项为1，公比为的等比数列，．…………………………….5分

由，得

所以，当时，……………………………………………….6分

上式对显然成立．………………………………………………………………………..1分

【解二】猜测，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分

的求法如【解一】  ………………………………………………………………………..7分

【解三】猜测，并用数学归纳法证明 ………………………….7分

  …………………………………………………………………..5分

（2）当时，不是与的等差中项，不合题意；……………………………….1分

当时，由得，

由得（可解得）..…………………………………………2分

对任意的，是与的等差中项． .………………………………….2分

证明：，

，                     .………………………………….3分

即，对任意的，是与的等差中项．