Question

20．已知定义在R上的奇函数f（x），满足2016f（-x）＜f′（x）恒成立，且f（1）=e^-2016，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（2016）＜0
• B． f（2016）＜e${\;}^{-201{6}^{2}}$
• C． f（2）＜0
• D． f（2）＞e^-4032

Answer 1

分析 由题意可知f′（x）+2016f（x）＞0恒成立，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$，求其导函数，可知其导函数恒大于0，由此可得函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$为实数集上的增函数，由g（2）＞g（1）可得f（2）＞e^-4032．

解答 解：∵f（x）为实数集上的奇函数，且2016f（-x）＜f′（x）恒成立，
∴f′（x）+2016f（x）＞0恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$，
则$g′（x）=\frac{f′（x）•{e}^{-2016x}+2016f（x）•{e}^{-2016x}}{（{e}^{-2016x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）+2016f（x）}{{e}^{-2016x}}＞0$，
∴函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{-2016x}}$为实数集上的增函数，
又f（1）=e^-2016，
∴g（2）＞g（1），
即$\frac{f（2）}{（{e}^{-2016}）^{2}}＞\frac{f（1）}{{e}^{-2016}}=\frac{{e}^{-2016}}{{e}^{-2016}}=1$，
∴f（2）＞e^-4032，
故选：D．

点评 本题考查导数的综合应用，训练了函数构造法，考查了导函数的符号与原函数单调性的关系，是中档题．