【题目】已知函数.
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若有两个极值点
,证明:
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点;
(2)由(1)可知,当且仅当时,
有两个极值点
,且
为方程
的两根,
,求出
,根据函数的单调性证明即可.
(1).
①当时,
.
当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
在
上单调递减.
即函数只有一个极大值点
,无极小值点.
②当时,
,
令,得
.
当时,
,
所以在
上单调递增;
当时,
,
所以在
上单调递减.
即函数有一个极大值点
,有一个极小值点
.
③当时,
,此时
恒成立,
即在
上单调递增,无极值点.
综上所述,当时,
有且仅有一个极大值点,即只有1个极值点;
当时,
有一个极大值点和一个极小值点,即有2个极值点;
当时,
没有极值点.
(2)由(1)可知,当且仅当时,
有两个极值点
,且
为方程
的两根,
即,
所以
.
令,
则恒成立,
所以在
上单调递增,
所以,
即.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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【题目】设抛物线C:与直线
交于A、B两点.
(1)当取得最小值为
时,求
的值.
(2)在(1)的条件下,过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N(M、N不同于点P)两点,且
的平分线与
轴平行,求证:直线MN的斜率为定值.
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【题目】已知抛物线L:(
)的焦点为F,过点
的动直线l与抛物线L交于A,B两点,直线
交抛物线L于另一点C,直线
的最小值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点A作y轴的垂线m,则x轴上是否存在一点,使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上?若存在,求该点的坐标及该定直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各个选项中,一定符合上述指标的是__________.
①平均数; ②标准差
; ③平均数
且标准差
;
④平均数且极差小于或等于2; ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
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【题目】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为的调查样本,其中城镇户籍与农民户籍各
人;男性
人,女性
人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
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【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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