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(本小题满分12分)函数
(Ⅰ)求的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论的大小关系;
(Ⅲ)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)在是函数的减区间;是函数的增区间.的最小值是.(II)当时,;当时,
(Ⅲ)不存在.

试题分析:(1)∵,∴为常数),又∵,所以,即
,∴,令,即,解得
因为,所以<0,<0,
时,是减函数,故区间在是函数的减区间;
时,是增函数,故区间在是函数的增区间;
所以的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以的最小值是.…………4分
(2),设,则
时,,即,当时,
因此函数内单调递减,当时,=0,∴
时,=0,∴.…………8分
(3)满足条件的不存在.证明如下:
证法一 假设存在,使对任意成立,
即对任意              ①
但对上述的,取时,有,这与①左边的不等式矛盾,
因此不存在,使对任意成立.  …………12分
证法二 假设存在,使对任意成立,
由(1)知,的最小值是
,而时,的值域为
∴当时,的值域为
从而可以取一个值,使,即,∴
,这与假设矛盾.
∴不存在,使对任意成立
点评:利用导数求函数的单调区间,一定要先求函数的定义域。此题的综合性较强,对学生的能力要求较高。
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