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【题目】已知椭圆 和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.

【答案】
(1)解:直线l的方程为y﹣2= (x﹣4),即为y= x,

代入椭圆方程x2+4y2=36,可得

x=±3 ,y=±

即有|AB|= =3


(2)解:由P的坐标,可得 + <1,可得P在椭圆内,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

,① ,②

由中点坐标公式可得x1+x2=8,y1+y2=4,③

由①﹣②可得, + =0,④

将③代入④,可得

kAB= =﹣

则所求直线的方程为y﹣2=﹣ (x﹣4),

即为x+2y﹣8=0


【解析】(1)设出直线方程,代入椭圆方程,解方程可得交点坐标,由两点 的距离公式即可得到弦长;(2)运用点差法,求得直线的斜率,即可得到直线方程.

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