Question

14．若函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴相切于点（1，0），则f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

Answer 1

分析 由图象与x轴相切于点（1，0）得f（1）=0，f′（1）=0．从而解出p，q，解出不等式f′（x）＞0即为单调增区间．

解答 解：f′（x）=3x²-2px-q
∵函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴相切于点（1，0），
∴f（1）=0，f′（1）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-p-q=0}\\{3-2p-q=0}\end{array}\right.$，
解得p=2，q=-1．
∴f′（x）=3x²-4x+1．
令f′（x）=3x²-4x+1=0
得 x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1
∴3x²-4x+1＞0的解为
x＜$\frac{1}{3}$或x＞1时．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．
故答案为（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

点评 本题考察了函数切线的性质，导数与函数单调性的关系．