A. | M2>N | B. | M2<N | C. | M>N | D. | M<N |
分析 分别求出M,N,作差得到M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$($\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$),令t=$\frac{b}{a}$,(t>1),令g(t)=lnt-$\frac{1}{2}$(t-$\frac{1}{t}$),(t>1),根据函数的单调性求出g(x)<0即可判断M、N的大小.
解答 解:∵h(x)=$\frac{1}{x}$,g(x)=lnx,b>a>0,
∴M=g(b)-g(a)=lnb-lna,
N=$\frac{1}{2}$(b-a)(h(a)+h(b))=$\frac{1}{2}$(b-a)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=$\frac{1}{2}$($\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$),
∴M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$($\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$),
令t=$\frac{b}{a}$,(t>1),令g(t)=lnt-$\frac{1}{2}$(t-$\frac{1}{t}$),(t>1),
则g′(t)=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{{t}^{2}}$),g″(t)=$\frac{1-t}{{t}^{3}}$<0,
g′(t)在(1,+∞)递减,g′(t)<g′(1)=0,
∴g(t)在(1,+∞)递减,
∴g(t)<g(1)<0,
∴M-N<0,即M<N,
故选:D.
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,2]∪[3,+∞) | B. | [2,3] | C. | (-∞,2]∪[3,+∞) | D. | [3,+∞) |
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