Question

18．设h（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx，b＞a＞0，M=g（b）-g（a），N=$\frac{1}{2}$（b-a）（h（a）+h（b）），则以下关系一定正确的是（　　）

• A． M²＞N
• B． M²＜N
• C． M＞N
• D． M＜N

Answer 1

分析 分别求出M，N，作差得到M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$），令t=$\frac{b}{a}$，（t＞1），令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），根据函数的单调性求出g（x）＜0即可判断M、N的大小．

解答 解：∵h（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx，b＞a＞0，
∴M=g（b）-g（a）=lnb-lna，
N=$\frac{1}{2}$（b-a）（h（a）+h（b））=$\frac{1}{2}$（b-a）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$），
∴M-N=lnb-lna-$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$-$\frac{a}{b}$），
令t=$\frac{b}{a}$，（t＞1），令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），
则g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$），g″（t）=$\frac{1-t}{{t}^{3}}$＜0，
g′（t）在（1，+∞）递减，g′（t）＜g′（1）=0，
∴g（t）在（1，+∞）递减，
∴g（t）＜g（1）＜0，
∴M-N＜0，即M＜N，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．