Question

已知一个圆的圆心为坐标原点O，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足．
（Ⅰ）求线段PP′中点M的轨迹方程； 
（Ⅱ）已知直线x-y-2=0与M的轨迹相交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x²+y²=4，确定M，P之间的关系，利用代入法，即可求得线段PP′中点M的轨迹方程； 
（Ⅱ）直线x-y-2=0与椭圆方程联立，消去y，求出A，B的坐标，即可求△OAB的面积．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则P（x，2y）
∵圆心为坐标原点O，半径为2的圆的方程为x²+y²=4，P在圆上
∴x²+4y²=4
∴线段PP′中点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1； 
（Ⅱ）直线x-y-2=0与椭圆方程联立，消去y可得5x²-16x+12=0，∴x=

6

5

或x=2
∴A（

6

5

，-

4

5

），B（2，0）
∴S△OAB=

1

2

|OB|h=

1

2

×2×

4

5

=

4

5

．

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．