Question

【题目】在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换 后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=
（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 后得到曲线C2，

∴ ，代入圆C1：x2+y2=1得： ，

故曲线C2的直角坐标方程为 ；

直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ= ．

即ρcosθ+2ρsinθ=10，即x+2y﹣10=0，

（2）将直线x+2y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，

设过M的直线为x+2y+C=0，

则由 得： x2+ Cx+ C2﹣36=0，

由△=（ C）2﹣4× ×（ C2﹣36）=0得：C=± ，

故x= ，或x=﹣ ，（舍去），

则y= ，

即M点的坐标为（ ， ），

则点M到直线l的距离d= =

【解析】(1）圆经过伸缩变换后得到的是椭圆，本题关键在于将变为带入圆的方程从而得出结果，极坐标方程化为直角坐标方程需要用到极化直公式
（2）必需要求出点M的坐标，而满足条件的点M 是直线x+2y+C=0与椭圆的切点，从而联立方程组求出点M的坐标