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已知向量
a
=(sin2x+1,1),
b
=(2,1-4sin2x)
,其中x∈R,函数f(x)=
a
b

(1)求f(x)的对称中心;
(2)若f(θ)=3,其中-
π
2
≤θ≤
π
2
,求tanθ的值.
考点:两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算
专题:三角函数的求值
分析:(1)由条件利用两个向量的数量积公式,三角函数的恒等变换求得f(x)=1+2
2
sin(2x+
π
4
)
,再根据正弦函数的图象的对称中心求得f(x)的对称中心.
(2)由f(θ)=3,求得sin(2θ+
π
4
)=
2
2
,结合-
π
2
≤θ≤
π
2
,求得θ的值,可得tanθ的值.
解答: 解:(1)由题意得函数f(x)=
a
b
=2sin2x+2+1-4•
1-cos2x
2
=2sin2x+2cos2x+1=1+2
2
sin(2x+
π
4
)

2x+
π
4
=kπ,即x=
2
-
π
8
时,2
2
sin(2x+
π
4
)=0
.故f(x)的对称中心为(
2
-
π
8
,1).
(2)令1+2
2
sin(2θ+
π
4
)=3
,可得2
2
sin(2θ+
π
4
)=2
,即sin(2θ+
π
4
)=
2
2

-
π
2
≤θ≤
π
2
,∴-
4
≤2θ+
π
4
4
,∴2θ+
π
4
=
π
4
,或2θ+
π
4
=
4
,求得θ=0或
π
4

故tanθ=0或1.
点评:本题主要考查两个向量的数量积公式,三角函数的恒等变换,正弦函数的图象的对称中心,根据三角函数的值求角,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

以下有四种说法:
①若p或q为真,p且q为假,则p与q必为一真一假;
②若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,n∈N*,则an=2n,n∈N*
③若实数t满足f(t)=-t,则称t是函数f(x)的一个次不动点,设函数f(x)=lnx与函数g(x)=ex(其中e为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m,则m=0
④若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),则6为函数f(x)的周期.
以上四种说法,其中正确说法的序号为
 

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数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.数列{an}满足an=log2bn+3.
(Ⅰ)求数列{bn},{an}的通项公式:
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,是否存在正整数n,使得数列{
4Sn-11n
n
}
前n项和为Tn满足Tn-(n-1)2=4025?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.

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执行如图所示的程序框图,则输出n的值是(  )
A、8B、9C、10D、11

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执行如图所示的程序框图,如果输入a=2,b=2,那么输出的a值为(  )
A、14B、15C、16D、17

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科目:高中数学 来源: 题型:

将函数y=
3
sinx
(x∈[0,π])的图象绕原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤
π
2
)
得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则θ的最大值是(  )
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过两点A(-1,1),B(4,a)的直线斜率为1,那么a的值是(  )
A、-6B、-4C、4D、6

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科目:高中数学 来源: 题型:

复数z=1+2i,则z的模为(  )
A、-1+
2
B、
3
C、1+
2
D、
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b∈R,则“a>b”是“
a+b
2
ab
”成立的(  )
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件

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