Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD点M，N分别是BC，PA的中点，且PA=PB=2．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：BC⊥平面AMN；
（3）求三棱锥N-AMC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连接NE，CE，可证四边形NECM为平行四边形，即可证明MN∥平面PCD．
（2）根据四边形ABCD为含有60°角的菱形，证出△ABC为正三角形，从而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，证出PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理，证出BC⊥面AMN．
（3）由NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，能求出三棱锥N-AMC的体积．

解答 解：（1）证明：取PD的中点E，连接NE，CE，
∵M，N分别是BC，PA的中点，底面ABCD是菱形，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD$\stackrel{∥}{=}$MC，
∴四边形NECM为平行四边形，
∴MN∥EC，EC?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，得AB=BC=CA
∵M是BC的中点，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN内的相交直线，
∴BC⊥面AMN．
（3）解：∵∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2，
∴NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥N-AMC的体积：
V=$\frac{1}{3}$S_△AMC×NA=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题在四棱锥中证明线面垂直，着重考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质和空间线面平行与线面垂直的判定等知识，属于中档题．