Question

已知函数f（x）=ae^x+x²-ax，a为实常数．
（1）若f（x）在x=0处的切线，与x=1处的切线平行，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得对于任意不相等的实数x₁，x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），若存在，求出所有符合条件的a，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f′（x）=ae^x+2x-a，可得f′（0）=0，由f（x）在x=0处的切线与x=1处的切线平行，可得f′（1）=0，可解得a的值，再说明两切线不重合即可；
（2）设g（x）=f′（x）=ae^x+2x-a，则g′（x）=ae^x+2，分类讨论：当a≥0时，g′（x）＞0，故f′（x）在R上单调递增，进而可得x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增； 当a＜0时，g′（x）在R上单调递减，令g′（x₀）=0，解得x0=ln(-

2

a

)，a＜-2、-2＜a＜0时，同理可得存在实数x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；a=-2时，可得f（x）在R上单调递减，由此可得结论．

解答：解：（1）因为f′（x）=ae^x+2x-a，（1分）  
所以f′（0）=0，（2分）
因为f（x）在x=0处的切线与x=1处的切线平行，所以f′（1）=ae+2-a=0，解得a=

2

1-e

．      （3分）
当a=

2

1-e

时，f(0)=a=

2

1-e

，f（1）=ae+1-a=（e-1）a+1=-1，f（0）≠f（1），即两切线不重合，故a=

2

1-e

．      （5分）
（2）设g（x）=f′（x）=ae^x+2x-a，则g′（x）=ae^x+2，
ⅰ． 当a≥0时，g′（x）＞0，故f′（x）在R上单调递增，
而f′（0）=0，故x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故必存在实数x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；      （7分）
ⅱ． 当a＜0时，g′（x）在R上单调递减，令g′（x₀）=0，解得x0=ln(-

2

a

)，
①若x₀＜0，即a＜-2时，g′（x）＜0在（x₀，+∞）上恒成立，故f′（x）在（x₀，+∞）上单调递减，而f′（0）=0，所以x∈（x₀，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故必存在实数x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；      （9分）
②若x₀＞0，即-2＜a＜0时，g′（x）＞0在（-∞，x₀）上恒成立，
f′（x）在（-∞，x₀）上单调递增，而f′（0）=0，所以x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
故必存在实数x₁＜0＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）；         （11分）
③若x₀=0，即a=-2时，x₀=0，故当x∈（-∞，0）时，g′（x）＞0，f′（x）递增，所以f′（x）＜f′（0）=0，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，，f′（x）递减，所以f′（x）＜f′（0）=0，
所以当x∈R时，f′（x）≤0恒成立，当且仅当x=0时，f′（x）=0
故f（x）在R上单调递减，所以对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），
综上ⅰ、ⅱ可知，存在这样的实数a，当且仅当a=-2时对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）．     （13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．