Question

已知数列{a_n}和{b_n}，a_n=n，b_n=2ⁿ，定义无穷数列{c_n}如下：a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
（1）写出这个数列{c_n}的一个通项公式（不能用分段函数）
（2）指出32是数列{c_n}中的第几项，并求数列{c_n}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和
（3）如果c_x=c_y（x，y∈N^*，且x＜y），求函数y=f（x）的解析式，并计算c_x+1+c_x+3+…+c_y（用x表示）

Answer 1

分析：（1）写出满足题意的一个通项公式即可；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式可确定32是数列{c_n}中的第10项与第63项，采用分组求和的方法可以解决；
（3）经过推敲可以求得y=f（x）的解析式，从而计算c_x+1+c_x+3+…+c_y．

解答：解：（1）a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
    即n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，…
    不妨：cn= [1+(-1)n+1] •

(n+1)

4

+[1+(-1)n] •2

n

2

- 1；
    （2）32=a₃₂=b₅，b₅=c₁₀，a₃₂=c₆₃；
    数列{c_n}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和为：
    a₆+a₇+…+a₃₁+b₆+b₇+…+b₃₁=

26(6+31)

2

-（2⁶-2³²）=481-64+2³²=4294967713．
（3）∵c_x=c_y（x，y属于正整数，且x＜y），
∴y=2(

x

2

+1)-1．
c_x+1+c_x+3+…+c_y=

[2 x 2 - x 2 ][ x 2 +1+2 x 2 ]

2

-2(

x

2

+1)+2[2

x

2

]．

点评：本题考查数列的求和，难点在于对数列公式的推敲及其求和的思维，属于难题．