Question

如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且EA=2FD．
（1）求证：CB⊥平面ABE；
（2）连接AC，BD交于点O，取EC中点G．证明：FG∥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）根据EA⊥底面ABCD，证出EA⊥BC，结合正方形ABCD中AB⊥BC，利用线面垂直判定定理可得CB⊥平面ABE．（2）连结OG，由三角形的中位线定理结合已知条件FD∥EA且EA=2FD，证出平面四边形DOGF为平行四边形，从而得出FG∥OD，利用线面平行的判定定理可证出FG∥平面ABCD．

解答：解：（1）∵EA⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，
∴EA⊥BC．----------------------（2分）
∵正方形ABCD中，AB⊥BC，EA∩AB=A，--------（3分）
∴CB⊥平面ABE．-------------------------（5分）
（2）连结OG．
∵OG是△AEC的中位线∴OG∥AE，且AE=2OG------（7分）
∵由已知EA=2FD，
∴OG∥DF且OG=DF，------------------（9分）
可得平面四边形DOGF为平行四边形，----------------（10分）
∴FG∥OD，
又∵FG?ABCD，OD?ABCD，---------------------（11分）
∴FG∥面ABCD．-------------------------------（12分）

点评：本题在特殊多面体中证明线面垂直和线面平行．着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识，属于中档题．