Question

已知函数f(x)＝x²－(2a＋1)x＋alnx.
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值；

Answer 1

（1）(0，)，(1，＋∞)  （2）a(lna－a－1)

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x²－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－3＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.

x	(0，)		(，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
当a≤时，f(x)在[，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；
当<a≤1时，f(x)在(0，]，[a，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增．
综上，当a≤1时，f(x)_min＝f(1)＝－2a；
当1<a<e时，

x	(1，a)	a	(a，e)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	a(lna－a－1)	?

所以f(x)_min＝f(