【题目】已知函数f(x),g(x)=f(x)-a,
(1)讨论函数g(x)的零点个数,并写出相应的实数a的取值范围;
(2)当函数g(x)有四个零点分别为x1,x2,x3,x4时,求x1+x2+x3+x4的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2)-2<x1+x2+x3+x4≤.
【解析】
(1)利用两个函数图像的交点个数,来判定零点个数;
(2)结合函数图像的特点,得出零点的特征及范围.
(1)根据题意,g(x)=f(x)-a的零点的个数即y=f(x)与直线y=a交点的个数,
函数f(x)=的图象如图:
①当a<-3时,y=f(x)与直线y=a没有交点,则函数g(x)没有零点;
②当a=-3时,y=f(x)与直线y=a有1个交点,则函数g(x)有1个零点;
③当-3<a<0时,y=f(x)与直线y=a有2个交点,则函数g(x)有2个零点;
④当a=0或a>1时,y=f(x)与直线y=a有3个交点,则函数g(x)有3个零点;
⑤当0<a≤1时,y=f(x)与直线y=a有4个交点,则函数g(x)有4个零点;
(2)由(1)的结论,函数g(x)有四个零点分别为x1,x2,x3,x4时,必有0<a≤1,
设x1<x2<x3<x4,则有x1+x2,|lgx3|=|lgx4|,
若|lgx3|=|lgx4|,则x3x4=1,
又由1<x4≤10,则.
令,易知该函数在上单调递增,所以 即2<x3+x4≤,
故-2<x1+x2+x3+x4≤.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).
(1)求通项公式an;
(2)设,为数列{bn}的前n项和,求正整数k,使得对任意的n∈Z+,均有T4≥Tn;
(3)设,Rn为数列{cn}的前n项和,若对任意的n∈Z+,均有Rn<λ,求λ的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BC∥AD,.
(Ⅰ)求证:CD⊥PD;
(Ⅱ)求证:BD⊥平面PAB;
(Ⅲ)在棱PD上是否存在点M,使CM∥平面PAB,若存在,确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知向量=(2sin x,cos x),=(-sin x,2sin x),函数f(x)=·
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=1,c=1,ab=2,且a>b,求a,b的值.
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【题目】已知抛物线,过点的直线与抛物线相切,设第一象限的切点为.
(Ⅰ)证明:点在轴上的射影为焦点;
(Ⅱ)若过点的直线与抛物线相交于两点,圆是以线段为直径的圆且过点,求直线与圆的方程.
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