Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{3}{2}$（ω＞0），其最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将图象上个点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有两个实数解，求实数k的取值范围．
（3）若不等式$|{f（x）-m}|＜1在x∈[{\left.{0，\frac{π}{4}}]}$上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（2）由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再结合正弦函数的图象求得-k的范围，可得k的范围．
（3）由题意可得m-1＜f（x）＜m+1，而当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，0]，再根据m-1＜-$\frac{3}{2}$，m+1＞0，求得m的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx）+$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{3}{2}$ 
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1 的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=2．
故函数f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，可得y=sin[4（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{6}$]-1=sin（4x-$\frac{π}{3}$）-1的图象；
再将图象上个点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的图象．
若关于x的方程g（x）+k=0，在区间$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有两个实数解，
即直线y=-k和g（x）的图象在区间$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有两个交点．
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，g（x）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]．
故-k∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0），即 k∈（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]．

（3）若不等式$|{f（x）-m}|＜1在x∈[{\left.{0，\frac{π}{4}}]}$上恒成立，
即当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，恒有 m-1＜f（x）＜m+1．
而当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
∴m-1＜-$\frac{3}{2}$，m+1＞0，求得-1＜m＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性；y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域；函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．