Question

（2012•西城区二模）已知函数f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x．
（Ⅰ）求f(

π

12

)的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式求出f(

π

12

)的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为

3

2

sin(2x+

π

3

)，由x的范围求出角2x+

π

3

的范围，可得f（x）的最大值，可得实数c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x，∴f(

π

12

)=cos2(-

π

12

)-sin2

π

12

=cos

π

6

=

3

2

．  …（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=

1

2

[1+cos(2x-

π

3

)]-

1

2

(1-cos2x)…（7分）
=

1

2

[cos(2x-

π

3

)+cos2x]=

1

2

(

3

2

sin2x+

3

2

cos2x) …（8分）
=

3

2

sin(2x+

π

3

)．      …（9分）
因为 x∈[0，

π

2

]，所以 2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，…（10分）
所以当 2x+

π

3

=

π

2

，即 x=

π

12

时，f（x）取得最大值

3

2

．   …（11分）
所以 ?x∈[0，

π

2

]，f（x）≤c等价于 

3

2

≤c．
故当 ?x∈[0，

π

2

]，f（x）≤c时，c的取值范围是[

3

2

，+∞)．  …（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域，属于中档题．