Question

【题目】已知函数f（x）=2alnx+x2﹣（a+4）x+1（a为常数）
（1）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意的 a∈（1， ），都存在 x0∈（3，4]使得不等式f（x0）+ln a+1＞m（a﹣a2）+2a ln 成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ．

令f′（x）=0，得x1=2， ．

①当a＞4时， ＞2，当2＜x＜ 时，f′（x）＜0；当0＜x＜2时，f′（x）＞0．

此时f（x）的单调增区间为（0，2），（ ），单调递减区间为（2， ）．

②当a=4时， =2，f′（x）= 0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

③当0＜a＜4时， ＜2，当 ＜x＜2时，f′（x）＜0；当0＜x＜ 或x＞2时，f′（x）＞0．

此时f（x）的单调增区间为（0， ），（2，+∞），单调递减区间为（ ，2）．

综上所述，当a＞4时，f（x）的单调增区间为（0，2），（ ），单调递减区间为（2， ）．

当a=4时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

当0＜a＜4时，f（x）的单调增区间为（0， ），（2，+∞），单调递减区间为（ ，2）

（2）解：由（1）可知，当a∈（1， ）时，f（x）在（3，4]上单调递增．

∴x∈（3，4]时，f（x）max=f（4）=4aln2﹣4a+1，依题意，

只需f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．

即对任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．

设h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，则h（1）=0．

．

∵a∈（1， ），∴ ＞0．

①当m≥1时，对任意的a∈（1， ），ma﹣1＞0，∴h′（a）＞0，h（a）在（1， ）上单调递增，h（a）＞h（1）=0恒成立；

②当m＜1时，存在a0∈（1， ），使得当a∈（1，a0）时，ma﹣1＜0，∴h′（a）＜0，h（a）单调递减，h（a）＜h（1）=0，

∴a∈（1， ）时，h（a）＞0不能恒成立．

综上述，实数m的取值范围是[1，+∞）

【解析】（1）求出原函数的导函数，求得导函数的零点，然后对a分类求出函数的单调区间．（2）由（1）可知，f（x）在（3，4]上单调递增．求出f（x）在（3，4]上的最大值，把问题转化为f（x）max+lna+1＞ ，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2）恒成立．即对任意的a∈（1， ），不等式lna+ma2﹣（m+2）a+2＞0恒成立．设h（a）=lna+ma2﹣（m+2）a+2，然后分m≥1和m＜1讨论a∈（1， ）时h（a）＞0是否恒成立求得实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．