【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，其中点
在以
为直径的圆上，
，
，
，平面
平面.
（1）证明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，
，根据直径所对圆周角是直角，得到
，计算出
的长，通过勾股定理证得
，再根据面面垂直的性质定理得到
平面
.（2）
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系通过计算平面
和平面
的法向量，计算二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
（1）证明：连接，，因为点在以
为直径的圆上，所以.
因为
，所以
，
.
所以
.
因为为等腰梯形，
，
所以
.
又因为
，
，
所以
，从而得.
又因为平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
.
因为
，所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值为.
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【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为
，点
在椭圆C上，直线
与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N
Ⅰ
求椭圆C的方程；
Ⅱ在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有
为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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【题目】设直线l：y=2x﹣1与双曲线
（
，
）相交于A、B两个不
同的点，且
（O为原点）．
（1）判断
是否为定值，并说明理由；
（2）当双曲线离心率
时，求双曲线实轴长的取值范围．
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【题目】如图，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四边形
是直角梯形，
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
（1求异面直角与所成角的大小；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
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【题目】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程
已知曲线
，直线
：
（
为参数）.
（I）写出曲线
的参数方程，直线
的普通方程；
（II）过曲线
上任意一点
作与
夹角为
的直线，交
于点
，
的最大值与最小值．
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【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，左焦点为
，点
是椭圆上位于
轴上方的一个动点，当直线
的斜率为1时，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的另外一个交点为
，点关于轴的对称点为
，求
面积的最大值.
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【题目】为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了
、
两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在
的为优质品．现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；
，
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为
，直接写出所在的分组区间；
（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；
|
| 总计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
总计 | 500 | 500 | 1000 |
（3）根据（2）中的列联表，能否有
的把握认为、两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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