Question

已知向量

m

=（2，-1），

n

=（sin

A

2

，cos（B+C）），A、B、C为△ABC的内角的内角，其所对的边分别为a，b，c
（1）当

m

•

n

取得最大值时，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，当a=

3

时，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sin

A

2

的二次函数，由A的范围求出

A

2

的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sin

A

2

的范围，利用二次函数的性质即可求出

m

•

n

取得最大值时A的度数；
（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，再利用三角形的内角和定理用B表示出C，将表示出的b与c代入b²+c²中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出b²+c²的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

=（2，-1），

n

=（sin

A

2

，cos（B+C）），
∴

m

•

n

=2sin

A

2

-cos（B+C）=2sin

A

2

+cosA=2sin

A

2

+（1-2sin²

A

2

）=-2（sin

A

2

-

1

2

）²+

3

2

，
∵0＜A＜π，∴0＜

A

2

＜

π

2

，
∴sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

时，

m

•

n

取得最大值；
（2）∵a=

3

，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵C=π-（A+B）=

2π

3

-B，
∴b²+c²=4sin²B+4sin²C=4sin²B+4sin²（

2π

3

-B）
=4[

1-cos2B

2

+

1-cos( 4π 3 -2B)

2

]
=4（1-

cos2B+cos 4π 3 cos2B+sin 4π 3 sin2B

2

）
=4+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=4+2sin（2B-

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，
∴3＜b²+c²≤6，
则b²+c²的取值范围为（3，6]．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．