Question

16．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=$\sqrt{3}$，点M在线段BC上．
（1）若AM=1，求BM的长；
（2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，建立方程，即可求BM的长；
（2）由正弦定理，先求得AM，AN，再得出△AMN的面积，最后运用三角函数的最值求面积的最小值．

解答 解：（1）在△ABM中，B=30°，AB=$\sqrt{3}$，AM=1，
根据余弦定理得，
AM²=BM²+AB²-2×BM•AB•cosB，
整理得，BM²-3BM+2=0，
解得BM=1或BM=2，；
（2）设∠BAM=θ，在△ABM，△ACN中分别用正弦定理得，
AM=$\frac{AB•sin30°}{sin（150°-θ）}$，AN=$\frac{AB•sin30°}{sin（120°-θ）}$，
而S_△AMN=$\frac{1}{2}$•|AM|•|AN|•sin30°
=$\frac{3}{16}$•$\frac{1}{sin（150°-θ）•sin（120°-θ）}$
=$\frac{3}{8}$•$\frac{1}{cos30°-cos（270°-2θ）}$
=$\frac{3}{8}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sin2θ}$=$\frac{3}{4\sqrt{3}+8sin2θ}$，
显然，当θ=$\frac{π}{4}$时，即∠BAM=$\frac{π}{4}$，
（S_△AMN）_min=$\frac{1}{2}$•|AM|•|AN|•sin30°=$\frac{3}{4\sqrt{3}+8}$=$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{4}$．

点评 本题主要考查了运用余弦定理、正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换及最值，属于中档题．