Question

（2011•广东三模）以下三个命题：①关于x的不等式

1

x

≥1的解为（-∞，1]②曲线y=2sin2x与直线x=0，x=

3π

4

及x轴围成的图形面积为s₁，曲线y=

1

π

4-x2

与直线x=0，x=2及x轴围成的图形面积为s₂，则s₁+s₂=2③直线x-3y=0总在函数y=lnx图象的上方其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①不等式

1

x

≥1等价于

1-x

x

≥0，解得0＜x≤1，故错误；②利用定积分分别求面积，即可判断；③构造函数f(x)=lnx-

x

3

可以判断函数f(x)=lnx-

x

3

值有正也有负，所以直线x-3y=0不总在函数y=lnx图象的上方，从而可得答案

解答：解：①不等式

1

x

≥1等价于

1-x

x

≥0，∴0＜x≤1，故错误；
②s1=3∫

π 4 0

2sin2xdx=3(-cos2x)|

π 4 0

=3，s2=

∫

2 0

1

π

4-x2

dx=4，∴s₁+s₂=7，故错误；
③构造函数f(x)=lnx-

x

3

，∴f /(x)=

1

x

- 

1

3

∴x=3时，函数取得极大值且大于0，从而可知函数f(x)=lnx-

x

3

值有正也有负，所以直线x-3y=0不总在函数y=lnx图象的上方，故错误
故选A．

点评：本题以命题为载体，考查解不等式，考查了利用定积分表示封闭图形的面积，考查导数的运用，综合性强．