Question

（2012•虹口区二模）已知f(x)=

m

•

n

，其中

m

=

2cosx，1

，

n

=

cosx， 3 sin2x

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC面积为

3 3

2

，求：边a的长及△ABC的外接圆半径R．

Answer 1

分析：先利用向量数量积的运算性质求得函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，
（1）利用函数周期计算公式可得其最小正周期，将内层函数置于外层函数的单调增区间上，解不等式即可得函数的单调递增区间；
（2）先由f（A）=2，结合角A的取值范围计算角A的值，再利用三角形面积公式和已知的面积，计算边长c的值，进而利用余弦定理求边长a的值，最后利用正弦定理求三角形的外接圆半径

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=1+2（

1

2

cos2x+

1

2

3

sin2x）=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

  （k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)+1=2，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜π，∴2A+

π

6

=

5π

6

∴A=

π

3

∵△ABC面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×sin

π

3

=

3 3

2

，
∴c=6
∴a=

12+62-2×1×6× 1 2

=

31

∴2R=

a

sinA

=

31

sin π 3

，
∴R=

93

3

点评：本题主要考查了向量数量积运算性质，三角变换公式的运用，三角形面积公式、余弦定理、正弦定理的运用，属中档题