【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC= AA1=1,D是棱AA1上的点,DC1⊥BD
(Ⅰ)求证:D为AA1中点;
(Ⅱ)求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小;
(Ⅲ)在△ABC边界及内部是否存在点M,使得B1M⊥面BDC,存在,说明M位置,不存在,说明理由.
【答案】证明:(Ⅰ)根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
∴D(1,0,h),C1(0,0,2),B(0,1,0),B1(0,1,2),
∴ =(﹣1,0,2﹣h), =(1,﹣1,h),
∴﹣1+h(2﹣h)=0,解得h=1,
∴D为AA1的中点.
(Ⅱ) =(0,﹣1,2),
设面BDC的法向量 =(x,y,z),
则 ,设x=1,得 =(1,0,﹣1),
设直线BC1与平面BDC所成角为θ,
则sinθ= = = .
∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为 .
(Ⅲ)设M(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1,
∴ ,
∵B1M⊥面BDC,∴ ,
∴ ,解得 ,
∵x>1,∴在△ABC边界及内部是不存在点M,使得B1M⊥面BDC.
【解析】(Ⅰ)根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明D为AA1的中点.(Ⅱ)求出面BDC的法向量,利用向量法能求出直线BC1与平面BDC所成角正弦值.(Ⅲ)设M(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1,利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M,使得B1M⊥面BDC.
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】已知函数f(x)= . (I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整数k的最大值;
(III)求证:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
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【题目】已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
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【题目】某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况,随机抽查了该市100名网友的网购金额情况,得到如图频率分布直方图.
(1)估计直方图中网购金额的中位数;
(2)若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”;若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率,从全市任意选取3人,则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.
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【题目】已知实数x,y满足 ,若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10,最小值为﹣2m﹣2,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[2,3]
D.[﹣1,3]
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【题目】已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 为参数,θ为倾斜角),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)写出曲线C的直角坐标方程;
(2)点Q(a,0),若直线l与曲线C交于A、B两点,求使 为定值的值.
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