Question

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．

（1）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（2）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；
（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　计			n=

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图．
（2）根据所给的以样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率，得到变量符合二项分布，做出概率．
（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

解答：解：（1）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
故合格品的频率为

36

40

=0.9，
据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率P=0.9，
则X～（5，0.9），EX=4.5---------（4分）
（2）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件；
则Y的取值为0，1，2；且P(Y=k)=

C k 4 • C 2-k 6

C 2 10

   (k=0，1，2)，于是有：P(Y=0)=

1

3

 ，   P(Y=1)=

8

15

 ， P(Y=2)=

2

15

∴Y的分布列为

Y	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

------（10分）

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=36	b=30	66
不合格品	c=4	d=10	14
合　计	40	40	n=80

（3）2×2列联表如下：
∵K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

80×(360-120)2

66×14×40×40

≈3.117＞2.706
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．------（14分）

点评：本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关