Question

【题目】若椭圆：与椭圆：满足，则称这两个椭圆相似，叫相似比.若椭圆与椭圆相似且过点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点作斜率不为零的直线与椭圆交于不同两点、，为椭圆的右焦点，直线、分别交椭圆于点、，设，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（1）依据题设建立方程组求解；（2）先依据题设建立直线的方程，再与椭圆方程联立，借助交点坐标及向量的坐标形式建立目标函数分析求解：

令，

（I）设椭圆的标准方程为，则

,,

得，，椭圆的标准方程.

（II）设直线的斜率为，，，，，

，，，

由,，

当与轴不垂直时，直线方程为：,

即，代入椭圆方程，得

,

则，得，，

当与轴垂直时，点的横坐标为1，，成立，

同理可得，

设直线的方程为，代入椭圆方程，得

，

则得，

，，

，

由得即范围为.