Question

20．有一动圆P恒过定点F（1，0）且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正角形，则圆心P的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 设圆心坐标（b，c），半径R，可得圆的方程，利用△ABP为正三角形，确定3（1-b）²+3c²=4b²，即可得出P的轨迹方程．

解答 解：设圆心坐标（b，c），半径R，则圆的方程：（x-b）²+（y-c）²=R²
令y=0，则x=1，代入得：（1-b）²+c²=R²（*）
令x=0，得b²+（y-c）²=R²，解得y₁=c+$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$，y₂=c-$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$，
由题知，AB=R，即|y₁-y₂|=R，
∴2$\sqrt{{R}^{2}-{b}^{2}}$=R，化简得3R²=4b²
将（*）式代入，消去R得：3（1-b）²+3c²=4b²
将b换成x，c换成y，并化简得：（x+3）²-3y²=12
即P的轨迹方程为$\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：A．

点评 本题考查P的轨迹，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．