Question

（几何证明选讲）

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF·EC.

(1)求证：ÐP=ÐEDF；

(2)求证：CE·EB=EF·EP；

(3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA的长.

Answer 1

：(Ⅰ)略 (Ⅱ) 略(Ⅲ) PA=

解析:

： （1）∵DE²=EF·EC，     ∴DE : CE=EF: ED．

∵ÐDEF是公共角，   ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．     ∴ÐP=ÐEDF．………3分

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

  ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF·EP=DE·EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分

（3）∵DE²=EF·EC，DE=6，EF= 4，   ∴EC=9．     ∵CE : BE=3 : 2，    ∴BE=6．

∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=．  ∴PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．

由切割线定理得：PA²=PB·PC，∴PA²=×．∴PA=．………10分