【题目】给定数列,若满足(且),对于任意,都有,则称数列为指数数列.
(1)已知数列、的通项公式分别为,,试判断、是不是指数数列(需说明理由);
(2)若数列满足:,,,证明:是指数数列;
(3)若是指数数列,,证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】(1)不是指数数列,是指数数列,见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)对数列、,验证与,与是否相等,由此判断出、是不是指数数列.
(2)利用累加法求得数列的通项公式,然后验证,由此证得是指数数列.
(3)首先根据指数数列的定义求得数列的通项公式,利用反证法,证得数列中任意三项都不能构成等差数列.
(1)对于数列,,,,因为,所以不是指数数列.
对于数列,对任意,因为,所以是指数数列.
(2)由题意,,所以数列是首项为,公比为2的等比数列.所以.
所以,,
即的通项公式为.所以,故是指数数列.
(3)因为数列是指数数列,故对于任意的,有,令,则,
所以是首项为,公比为的等比数列,所以,.
假设数列中存在三项,,构成等差数列,不妨设,
则由,得,所以,
当为偶数时,是偶数,而是偶数,是奇数,
故不能成立;
当为奇数时,是偶数,而是奇数,是偶数,
故也不能成立.
所以,对任意,不能成立,
即数列的任意三项都不成构成等差数列.
(另证:因为对任意,一定是偶数,而与为一奇一偶,故与也为一奇一偶,故等式右边一定是奇数,等式不能成立.)
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【题目】青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人,240人,120人,现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛,再从5位同学中选出2名一等奖记A=“两名一等奖来自同一年级”,则事件A的概率为_____.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是__________________.
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:若x≠1,则x2-3x+2≠0
②x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件
③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
④对于命题p:x∈R,使得x2+x+1<0,则非p:x∈R, 均有x2+x+1≥0
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【题目】下列命题中,正确的是( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个平行,则必与另一个平面平行
B.空间中两条直线要么平行,要么相交
C.空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面
D.对于空间中任意两条直线,总存在平面与这两条直线都平行
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【题目】根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况,以下结论正确的是
A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关
B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加
C. 2008年我国实际利用外资同比增速最大
D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大
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【题目】焦点在x轴上的椭圆C:经过点,椭圆C的离心率为.,是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点M为的中点(O为坐标原点),过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在实数,使得;若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司为了解所经销商品的使用情况,随机问卷50名使用者,然后根据这50名的问卷评分数据,统计得到如图所示的频率布直方图,其统计数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求这50名问卷评分数据的中位数;
(3)从评分在[40,60)的问卷者中,随机抽取2人,求此2人评分都在[50,60)的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,,焦距为6.
(1)求椭圆的方程.
(2)过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.
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