Question

3．已知等比数列{a_n}的公比q＞0，其n前项和为S_n，若a₁=1，4a₃=a₂a₄．
（Ⅰ）求公比q和a₅的值；
（Ⅱ）求证：$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}为等比数列且q＞0，且a₁=1，4a₃=a₂a₄．可得4q²=q⁴，解出即可得出．
（II）a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，作差$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2化简即可得出．

解答 （I）解：∵数列{a_n}为等比数列且q＞0，且a₁=1，4a₃=a₂a₄．
∴4q²=q⁴，
解得q=2．
∴a₅=q⁴=16．
（II）证明：a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$-2=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2＜0，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．