Question

（2012•江苏一模）定义在R上的f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为

1006

．

Answer 1

分析：由已知利用赋值，令m=0，n=1结合f（1）≠0可求f(1)=

1

2

，令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，可得f（m+1）-f（m）=

1

2

，则f（m）是以f（1）=

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，由等差数列的通项可求

解答：解：∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立且f（1）≠0，
令m=n=0可得，f（0）=f（0）+2f²（0），则f（0）=0
令m=0，n=1可得f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠0
∴f(1)=

1

2

∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立
令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，即f（m+1）-f（m）=2[f（1）]²=

1

2

由f（m+1）-f（m）=

1

2

可得f（m）是以f（1）=

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，f（m）=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

∴f（2012）=1006
故答案为：1006

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，解题的关键是利用赋值得到f（m+1）-f（m）=

1

2

，然后利用等差数列进行求解