Question

已知椭圆C的离心率e=

3

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由a=2，e=

3

2

，知c=

3

，b²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），直线A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直线A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直线A₂Q的方程为是y=

3

2

x-

3

交点为S1(4，

3

)．若P(1，-

3

2

) ，Q(1，

3

2

)，由对称性可知S2(4，-

3

)，若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵a=2，e=

3

2

，∴c=

3

，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），
直线A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，
直线A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直线A₂Q的方程为是y=

3

2

x-

3

交点为S1(4，

3

)．
若P(1，-

3

2

) ，Q(1，

3

2

)，由对称性可知S2(4，-

3

)，
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A₁P与A₂Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由

x2 4 +y2=1 x=my+1

，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y1+y2=

-2m

m2+4

，y1 y2=

-3

m2+4

，
记A₁P与l交于点S₀（4，y₀），
由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y0=

6y1

x1+2

，
设A₂Q与l交于点S‘₀（4，y′₀），
由

y′0

4-2

=

y2

x2-2

，得y′0=

2y2

x2-2

，
∵y0-y′0=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6y1(my2-1)-2y2 (my1+3)

(x1+2)(x2-2)

=

4my1y2-6(y1+y2)

(x1+2)(x2-2)

=

-12m m2+4 - -12m m2+4

(x1+2)(x2-2)

=0，
∴y₀=y′₀，即S₀与S‘₀重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价变换．注意对称性的合理运用．