Question

【题目】已知抛物线，焦点为，准线为，线段的中点为.点是上在轴上方的一点，且点到的距离等于它到原点的距离.

（1）求点的坐标；

（2）过点作一条斜率为正数的直线与抛物线从左向右依次交于两点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由点到的距离等于它到原点的距离，得，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入抛物线的方程，解得，即可得到点坐标.

（2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得，，进而得到，进而得到直线和的倾斜角互补，即可作出证明.

（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于，

因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，

从而为等腰三角形，

又为线段的中点，所以，

设点的坐标为，代入，解得，

故点的坐标为.

（2）设直线的方程为，代入，并整理得，

由直线与抛物线交于、两点，得，

结合，解得，

由韦达定理，得，，

，

所以直线和的倾斜角互补，从而，

结合轴，得，故.